二元函數極值

　　考點1 極值存在的必要條件

　　設P?(x?,y?)為x=f(x,y)的極值點，且z=f(x,y)在P?(x?,y?)處的偏導存在，則必有fx(x?,y?)=0，fy(x?,y?)=0.

　　考點2 極值存在的充分條件

　　設函數x=f(x,y)在其駐點(x?,y?)的某個鄰域內有二階的連續偏導數，令A=fxx(x?,y?)，B=fxy(x?,y?)，C=fyy(x?,y?)，△=B²-AC，于是有

　　1.如果△<0，則點(x?,y?)是函數的極值點，且

　　當A<0時，f(x?,y?)是極大值;當A>0時，f(x?,y?)是極小值.

　　2.如果△>0，則點(x?,y?)不是函數的極值點.

　　3.如果△=0，則函數z=f(x,y)在點(x?,y?)有無極值不能確定，需用其他方法判別.

　　考點3 條件極值的求法

　　先構造拉格朗日函數：F(x,y,λ)=f(x,y)+λ?(x,y).

　　求解方程組

　　Fx=fx(x,y)+λ?x(x,y)=0,

　　Fy=fy(x,y)+λ?y(x,y)=0,

　　Fλ=?(x,y)=0.

　　解出x,y,λ，則其中(x,y)就是z=f(x,y)在條件?(x,y)=0下的可能極值點的坐標.

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