奇偶性與單調性

　　函數的單調性、奇偶性是成人高考的重點和熱點內容之一，特別是兩性質的應用更加突出.本節主要幫助考生學會怎樣利用兩性質解題，掌握基本方法，形成應用意識。

　　●難點磁場

　　(★★★★★)已知偶函數f(x)在(0，+∞)上為增函數，且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0.

　　●案例探究

　　[例1]已知奇函數f(x)是定義在(-3，3)上的減函數，且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,設不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函數g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.

　　命題意圖：本題屬于函數性質的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.

　　知識依托：主要依據函數的性質去解決問題.

　　錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數在給定區間上的最值問題時，學生容易漏掉定義域.

　　技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉化為xcos不等式，利用數形結合進行集合運算和求最值.

　　解：由 且x≠0,故0

　　又∵f(x)是奇函數，∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3，3)上是減函數，

　　∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,綜上得2

　　∴B=A∪{x|1≤x≤ }={x|1≤x< },又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2- 知：g(x)在B上為減函數，∴g(x)max=g(1)=-4.

　　[例2]已知奇函數f(x)的定義域為R，且f(x)在[0，+∞)上是增函數，是否存在實數m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對所有θ∈[0, ]都成立?若存在，求出符合條件的所有實數m的范圍，若不存在，說明理由.

　　命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬★★★★★題目.

　　知識依托：主要依據函數的單調性和奇偶性，利用等價轉化的思想方法把問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題.

　　錯解分析：考生不易運用函數的綜合性質去解決問題，特別不易考慮運用等價轉化的思想方法.

　　技巧與方法：主要運用等價轉化的思想和分類討論的思想來解決問題.

　　解：∵f(x)是R上的奇函數，且在[0，+∞)上是增函數，∴f(x)是R上的增函數.于是不等式可等價地轉化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),

　　即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

　　設t=cosθ,則問題等價地轉化為函數g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0，1]上的值恒為正，又轉化為函數g(t)在[0，1]上的最小值為正.

　　∴當 <0,即m<0時，g(0)=2m-2>0 m>1與m<0不符;

　　當0≤ ≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=- +2m-2>0

　　4-2

　　當 >1,即m>2時，g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2

　　綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4-2 .

　　●錦囊妙計

　　本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：

　　(1)運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.

　　(2)應用問題.在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉化和數形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題.

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